Операции сложения и вычитания дробей

В предыдущей статье мы познакомились с видами дробей, и поскольку дроби — это части целого, то их как и целые числа можно вычитать и прибавлять.

С десятичными дробями все просто — операции сложения и вычитания проводятся аналогичным образом, как и для целых чисел. Именно поэтому десятичные дроби удобные, а все операции над ними можно провести в том числе и на калькуляторе. Однако, если калькулятора нет под рукой или его использование запрещено условиями теста, то десятичные дроби придется добавлять или отнимать в столбик. Для этого главное поставить запятую, которая разделяет целую и дробную часть, одной дроби над такой же  запятой другой дроби. Например нужно добавить числа и , получим

Сложение и вычитание простых дробей является более распространенной задачей в математике и, можно сказать, что эти действия составляют основу школьной алгебры, поскольку проводятся не только над числами, но и над буквами и выражениями, состоящие из букв, тригонометрическими функция, логарифма и т. д. (С тригонометрическими функциями и логарифмами познакомимся в следующих статьях).

Учись вместе с «Репетиторами України»

Выбери преподавателя для подготовки к экзаменам и контрольным работам

Посмотреть репетиторов

Проще всего добавлять дроби с одинаковыми знаменателями, в таком случае нужно только добавить числители, а знаменатель написать общий для двух дробей:

Если рассмотреть добавление на примере торта, который разделен на части, то получим такую ​​ситуацию: каждый из двух тортов разделен на 8 кусков, о чем свидетельствуют знаменатели дробей, и с первого торта взято 3 куска, а с другой 7 кусков (числитель дроби), в результате получим 10 кусков тортов, которые разделены на 8 частей:

Аналогично для вычитания — числители вычитаем, а знаменатель пишем общий для двух дробей:

И в общем виде:

где , i — любые целые числа.

Если же знаменатели дробей не одинаковы, то на практике это означает, что наши торты разделены на разное количество частей, а поэтому куски имеют разный размер и как их добавлять или отнимать «непонятно». Соответственно задача состоит в том, чтобы сделать куски тортов одинаковыми по размеру, то есть найти общий знаменатель, а в этом нам поможет основное свойство дробей, которое мы упомянули в предыдущей статье «Виды дробей».

Сначала разберемся, что значит найти наименьшее общее кратное (НОК) для двух целых чисел и ( и — два любых целых числа) — это значит найти такое наименьшее число, которое бы делилось как на , так и на нацело. Например, нужно найти НСК для и , поскольку числа небольшие, то можно без проблем сказать, что наименьшим числом, которое бы делилось и на , и на является число . Однако если числа будут большими, то уже не так легко будет найти НОК. В таком случае на помощь приходят правила по поиску наименьшего общего кратного двух цифр:

1. Разложить каждое из чисел на простые множители (простые числа — числа, делящиеся только на себя и на единицу: и т.д.),
2. Берем любое из двух разложенных чисел и домножаемо его, на те простые множители, которых недостает в другом — это и будет наименьшее общее кратное.

Пример 1.
Найти НОК и .
Решение.
Сначала раскладываем на множители оба числа:


Берем число и сравниваем его разложение с разложением числа . Видим, что в разложение 36 две двойки и две тройки, то есть не хватает еще одной двойки и одной тройки, чтобы могло полноценно войти в разложение , поэтому домножаемо на и и получаем НОК этих двух цифр
Так же мы могли взять разложение и сравнить его с разложением , в таком случае можно увидеть, что в разложении не входит число , таким образом, чтобы найти НОК и надо умножить на , после перемножения получим .

Пример 2.
Найти НОК и .
Решение.


В разложении не хватает двух двоек, если его сравнивать с разложением , следовательно, НОК будет

Если нужно найти НСК трех и более чисел, то нужно разложить на простые множители каждое из чисел. Затем выбрать первое число, сравнить его разложение с разложением второго числа и умножить на недостающие множители, разложение образованного числа сравнить с расписанием третьего числа и снова умножить его на недостающие простые множители и т.д.

Зная как искать наименьшее общее кратное, можем перейти к добавлению двух дроби с разными знаменателями. Начнем с примера:

Для этого нужно найти общий знаменатель, что равноценно нахождению наименьшего общего кратного для чисел, является знаменателями двух дробей. Применяя правила для нахождения НСК, имеем общий знаменатель . В таком случае числитель первой дроби не нужно умножить на , а числитель второй дроби на , имеем

Таким образом, чтобы добавить или же отнять две дроби с разными знаменателями нужно:

1. Найти общий знаменатель двух дробей, используя правила для нахождения наименьшего общего кратного.
2. Умножить каждый из числитель дроби на число, которое находим с помощью деления найденного общего знаменателя на числитель избранное дроби.
3. Выполнить операцию сложение или вычитание в числителе дроби с общим знаменателем.