Операції додавання та віднімання дробів

›

Операції додавання та віднімання дробів ›

Обери репетитора математики, щоб вивчити предмет

В попередній статті ми ознайомилися з видами дробів, і оскільки дроби – це частини цілого, то їх як і цілі числа можна віднімати і додавати.

З десятковими дробами все просто – операції додавання і віднімання проводяться аналогічним чином, як і для цілих чисел. Власне тому десяткові дроби зручні, а всі операції над ними можна провести в тому числі і на калькуляторі. Проте, якщо калькулятора немає під рукою чи його використання заборонене умовами тесту, то десяткові дроби доведеться додавати чи віднімати в стовпчик. Для цього головне поставити кому, яка розділяє цілу і дробову частину, одного дробу над такою ж комою іншого дробу. Наприклад потрібно додати числа $387, 489$ і $576,643$ , отримаємо

Додавання і віднімання простих дробів є більш поширенішою задачею в математиці і, можна сказати, що ці дії складають основу шкільної алгебри, оскільки проводяться не лише над числами, але й над буквами і виразами, що складаються з букв, тригонометричних функцій, логарифмів і т.д. (з тригонометричними функціями і логарифмами познайомимось в наступних статтях).

Навчайся разом з Репетиторами України

Обери викладача для підготовки до екзаменів та контрольних робіт

Найпростіше додавати дроби з однаковими знаменниками, в такому випадку потрібно лише додати чисельники, а знаменник написати спільний для двох дробів:

$\frac{3}{8} + \frac{7}{8} = \frac{3+7}{8} = \frac{10}{8} .$

Якщо розглянути додавання на прикладі торту, що розділений на шматки, то матимемо таку ситуацію: кожен з двох тортів поділений на 8 шматків, про що свідчать знаменники дробів, і з першого торту взято 3 шматки, а з другого 7 шматків (чисельники дробів), в результаті отримаємо 10 шматків тортів, що поділені на 8 частин:

Аналогічно для віднімання – чисельники віднімаємо, а знаменник пишемо спільний для двох дробів:

$\frac{17}{23} - \frac{11}{23} = \frac{17-11}{23} = \frac{6}{23}.$

І в загальному вигляді:

$\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c},$

де $a$ , $b$ i $c$ – будь-які цілі числа.

Якщо ж знаменники дробів не однакові, то на практиці це означає, що наші торти поділені на різну кількість частин, а тому шматки мають різний розмір і як їх додавати чи віднімати незрозуміло. Відповідно завдання полягає в тому, щоб зробити шматки тортів однаковими за розміром, тобто знайти спільний знаменник, а в цьому нам допоможе основна властивість дробів, яку ми згадали в попередній статті “Види дробів“.

Спочатку розберемось, що значить знайти найменше спільне кратне (НСК) для двох цілих чисел $a$ і $b$ (два будь-яких цілих числа) – це означає відшукати таке найменше число, яке б ділилося як на $a$ , так і на $b$ без остачі. Наприклад, потрібно знайти НСК для $4$ і $6$ , оскільки числа невеликі, то можна без проблем сказати, що найменшим числом, яке б ділилося і на $4$ , і на $6$ є число $12$ . Проте якщо числа будуть більшими, то вже не так легко буде знайти НСК. В такому випадку на допомогу приходять правила з пошуку найменшого спільного кратного двох чисел:

- 1. Розкласти кожне з чисел на прості множники (числа, що діляться лише на себе і на одиницю: $2,3,5,7,11$ і т.д.),
  2. Беремо будь-яке з двох розкладених чисел і домножаємо його, на ті прості множники, яких бракує в іншому – це і буде найменше спільне кратне.

Приклад 1.

Знайти НСК $24$ і $36$ .

Розв’язок.

Спершу розкладаємо на множники обидва числа:

$24 = 4\times 6 = 4 \times 3 \times 2$
$36 = 6\times 6 = 2 \times 2 \times 3 \times 3$
Беремо число $24$ і порівнюємо його розклад з розкладом числа $36$ . Бачимо, що в розкладі 36 дві двійки і дві трійки, тобто $24$ не вистачає ще однієї двійки і однієї трійки, щоб $36$ могло повноцінно увійти в розклад $24$ , тому домножаємо $24$ на $2$ та $3$ і отримуємо НСК цих двох чисел $24 \times 2 \times 3 = 144$
Так само ми могли взяти розклад $36$ і порівняти його з розкладом $24$ , в такому випадку можна побачити, що в розклад $36$ не входить число $4$ , таким чином, щоб знайти НСК $24$ і $36$ треба домножити $36$ на $4$ , після перемноження отримаємо $144$ .

Приклад 2.

Знайти НСК $63$ і $28$ .

Розв’язок.

$63 = 7 \times 9 = 7 \times 3 \times 3$
$28 = 7 \times 4 = 7 \times 2 \times 2$
В розкладі $63$ не вистачає двох двійок, якщо його порівнювати з розкладом $28$ , отже, НСК буде $63 \times 2 \times 2 = 252.$

Якщо потрібно знайти НСК трьох і більше чисел, то потрібно розкласти на прості множники кожне із чисел. Потім обрати перше число, порівняти його розклад з розкладом другого числа і домножити на бракуючі множники, розклад утвореного числа порівняти з розкладом третього числа і знову домножити його на бракуючі прості множники і т.д.

Знаючи як шукати найменше спільне кратне, можемо перейти до додавання двох дроби з різними знаменниками. Почнемо з прикладу:

$\frac{7}{54} + \frac{5}{18}$

Для цього потрібно знайти спільний знаменник, що рівноцінно знаходженню найменшого спільного кратного для чисел, що є знаменниками двох дробів. Застосовуючи правила для знаходження НСК, маємо спільний знаменник $54$ . В такому випадку чисельник першого дробу не потрібно домножити на $1$ , а чисельник другого дробу на $3$ , маємо

$\frac{7}{54} + \frac{5}{18} = \frac{^{1/}7}{54} + \frac{^{3/}5}{18} = \frac{1*7+3*5}{54} = \frac{22}{54}.$

Таким чином, щоб додати або ж відняти два дроби з різними знаменниками потрібно:

Знайти спільний знаменник двох дробів, використовуючи правила для знаходження найменшого спільного кратного.
Домножити кожен із чисельників дробу на число, яке знаходимо з допомогою ділення знайденого спільного знаменника на чисельник обраного дробу.
Виконати операцію додавання чи віднімання в чисельнику дробу зі спільним знаменником.