Импульс

Главная

›

Материалы ›

Физика ›

Механическое движение. Механика ›

Импульс тела ›

Выбирай среди 25000+ репетиторов из больше 100 предметов

Найти репетитора

Импульс тела — это векторная величина, равная произведению массы тела на его скорость:

$\vec{p} = m\vec{v}.$

Специальных единиц измерения импульса нет. Размерность импульса — это просто произведение размерности массы на размерность скорости:

$[p] = [m] · [v] =$ (кг·м)/с.Почему понятие импульса является интересным? Оказывается, с его помощью можно придать второму закону Ньютона несколько иную, также чрезвычайно полезную форму.

Второй закон Ньютона в импульсной форме

Пусть $\vec{F}$ — равнодействующая сил, приложенных к телу массы $m$ . Начинаем с обычной записи второго закона Ньютона:

$m\vec{a} = \vec{F} .$

С учётом того, что ускорение тела $\vec{a}$ равно производной вектора скорости, второй закон Ньютона переписывается следующим образом:

$m \frac{d\vec{v}}{dt} = \vec{F} .$

Вносим константу $m$ под знак производной:

$\frac{d m \vec{v}}{dt} = \vec{F} .$

Как видим, в левой части получилась производная импульса:

(1) $\begin{equation*} \frac{d \vec{p} }{ d t } = \vec{F} \end{equation*}$

Соотношение (1) и есть новая форма записи второго закона Ньютона.

Второй закон Ньютона в импульсной форме. Производная импульса тела есть равнодействующая приложенных к телу сил.
Можно сказать и так: результирующая сила, действующая на тело, равна скорости изменения импульса тела. Производную в формуле (1) можно заменить на отношение конечных приращений:

(2) $\begin{equation*} \frac{\Delta \vec{p} }{ \Delta t} = \vec{F} \end{equation*}$

В этом случае $\vec{F}$ есть средняя сила, действующая на тело в течение интервала времени $\Delta t$ . Чем
меньше величина $\Delta t$ , тем ближе отношение $\frac{\Delta \vec{p} }{ \Delta t}$ к производной $\frac{d \vec{p} }{ d t }$ , и тем ближе средняя сила $\vec{F}$ к своему мгновенному значению в данный момент времени.
В задачах, как правило, интервал времени $\Delta t$ достаточно мал. Например, это может быть время соударения мяча со стенкой, и тогда $\vec{F}$ — средняя сила, действующая на мяч со стороны стенки во время удара.

Найди репетитора по физики

Выбери преподавателя для подготовки к экзаменам и контрольным работам

Вектор $\Delta \vec{p}$ в левой части соотношения (2) называется изменением импульса за время $\Delta t$ . Изменение импульса — это разность конечного и начального векторов импульса. А именно, если $\vec{p}_0$ — импульс тела в некоторый начальный момент времени, $\vec{p}$ — импульс тела спустя промежуток времени $\Delta t$ , то изменение импульса есть разность:

$\Delta \vec{p} = \vec{p} - \vec{p}_0$

Подчеркнём ещё раз, что изменение импульса — это разность векторов. Напомним, что при построении разности векторов нужно совместить начала обоих векторов, соединить их концы и «уколоть» стрелкой тот вектор, из которого производится вычитание.

Пусть, например, мяч летит перпендикулярно стенке (импульс перед ударом равен $vec{p}_0$ ) и отскакивает назад без потери скорости (импульс после удара равен $vec{p} = - vec{p}_0$ ). Несмотря на то, что импульс по модулю не изменился $( p = p_0 )$ , изменение импульса нулю не равно:

$\Delta \vec{p} = \vec{p} - \vec{p}_0 = - \vec{p}_0 - \vec{p}_0 = -2 \vec{p}_0 .$

Модуль изменения импульса, как видим, равен удвоенному модулю начального импульса мяча: $\Delta \vec{p} = 2 \Delta \vec{p}_0 .$

Перепишем формулу (2) следующим образом:

(3) $\begin{equation*} \Delta \vec{p} = \vec{F} \Delta t , \end{equation*}$

или, расписывая изменение импульса, как и выше:

$\vec{p} - \vec{p} _0 = \vec{F} \Delta t.$

Величина $\vec{F} \Delta t$ называется импульсом силы. Специальной единицы измерения для импульса силы нет; размерность импульса силы равна просто произведению размерностей силы и времени:

$[\vec{F} \Delta t] = [F] · [t] =$ Н · с.
(Обратите внимание, что Н·с оказывается ещё одной возможной единицей измерения импульса тела.)

Словесная формулировка равенства (3) такова: изменение импульса тела равно импульсу действующей на тело силы за данный промежуток времени. Это, разумеется, снова есть второй закон Ньютона в импульсной форме.