Імпульс тіла - Закон збереження імпульсу

Головна

›

Матеріали ›

Фізика ›

Механічний рух. Механіка ›

Імпульс тіла ›

Обирай серед 25000+ репетиторів з понад 100 предметів

Знайти репетитора

Імпульс тіла – це векторна величина, що дорівнює добутку маси тіла на його швидкість:

$\vec{p} = m \vec{v}.$

Спеціальних одиниць вимірювання імпульсу немає. Розмірність імпульсу – це просто витвір розмірності маси на розмірність швидкості:

$[p] = [m] · [v] =$ (кг·м)/с.Чому поняття імпульсу є цікавим? Виявляється, з його допомогою можна надати другим законом Ньютона дещо іншу, також надзвичайно корисну форму.

Другий закон Ньютона в імпульсної формі

Нехай $\vec{F}$ – рівнодіюча сил, прикладених до тіла маси $m$ . Починаємо з звичайного запису другого закону Ньютона:

$m \vec{a} = \vec{F}.$

З урахуванням того, що прискорення тіла $\vec{a}$ дорівнює похідній вектора швидкості, другий закон Ньютона переписується наступним чином:

$m \frac{d \vec {v}}{dt} = \vec{F}.$

Вносимо константу $m$ під знак похідної:

$\frac{d m \vec{v}} {dt} = \vec{F}.$

Як бачимо, в лівій частині вийшла похідна імпульсу:

(1) $\begin{equation*} \frac{d \vec{p} }{ d t } = \vec{F} \end{equation*}$

Співвідношення (1) і є нова форма запису другого закону Ньютона.

Знайди репетитора з фізики

Обери викладача для підготовки до іспитів та контрольних робіт

Другий закон Ньютона в імпульсної формі. Похідна імпульсу тіла є рівнодіюча прикладених до тіла сил.
Можна сказати і так: результуюча сила, що діє на тіло, дорівнює швидкості зміни імпульсу тіла. Похідну у формулі (1) можна замінити на відношення скінченних приростів:

(2) $\begin{equation*} \frac{\Delta \vec{p} }{ \Delta t} = \vec{F} \end{equation*}$

В цьому випадку $\vec{F}$ є середня сила, що діє на тіло протягом інтервалу часу $\Delta t$ . чим
менше величина $\Delta t$ , тим ближче відношення $\frac{\Delta \vec{p}}{\Delta t}$ до похідної $\frac{d \vec{p}}{dt}$ , і тим ближче середня сила $\vec{F}$ до свого миттєвому значенню в даний момент часу.
У завданнях, як правило, інтервал часу $\Delta t$ досить малий. Наприклад, це може бути час зіткнення м’яча із стінкою, і тоді $\vec{F}$ – середня сила, що діє на м’яч з боку стінки під час удару.

Вектор $\Delta \vec{p}$ в лівій частині співвідношення (2) називається зміною імпульсу за час $\Delta t$ . Зміна імпульсу – це різниця кінцевого і початкового векторів імпульсу. А саме, якщо $\vec{p}_0$ – імпульс тіла в деякий початковий момент часу, $\vec{p}$ – імпульс тіла через проміжок часу $\Delta t$ , то зміна імпульсу є різниця:

$\Delta \vec{p} = \vec{p} - \vec{p}_0$

Підкреслимо ще раз, що зміна імпульсу – це різниця векторів. Нагадаємо, що при побудові різниці векторів потрібно мпівставити початки обох векторів, з’єднати їх кінці і «вколоти» стрілкою той вектор від якого робиться віднімання.

Нехай, наприклад, м’яч летить перпендикулярно стінці (імпульс перед ударом дорівнює $vec{p}_0$ ) і відскакує назад без втрати швидкості (імпульс після удару дорівнює $vec{p} = - vec {p}_0$ ). Незважаючи на те, що імпульс по модулю не змінився $(p = p_0)$ , зміна імпульсу не дорівнює нулю:

$\Delta \vec{p} = \vec{p} - \vec{p}_0 = - \vec{p}_0 - \vec{p}_0 = -2 \vec{p}_0 .$

Модуль зміни імпульсу, як бачимо, дорівнює подвоєному модулю початкового імпульсу м’яча: $\Delta \vec{p} = 2 \Delta \vec{p}_0.$

Перепишемо формулу (2) наступним чином:

(3) $\begin{equation*} \Delta \vec{p} = \vec{F} \Delta t , \end{equation*}$

або, розписуючи зміна імпульсу, як і вище:

$\vec{p} - \vec{p} _0 = \vec{F} \Delta t.$

Величина $\vec{F} \Delta t$ називається імпульсом сили. Спеціальної одиниці виміру для імпульсу сили немає; розмірність імпульсу сили дорівнює просто добутку різниці сили і часу:

$[\vec{F} \Delta t] = [F] · [t] =$ Н · с.
(Зверніть увагу, що Н · с є ще однією можливою одиницею виміру імпульсу тіла.)

Словесне формулювання рівняння (3) таке: зміна імпульсу тіла дорівнює імпульсу діючої на тіло сили за даний проміжок часу. Це знову є другий закон Ньютона в імпульсної формі.