Операции умножения и деления дробей

›

Операция умножения и деления дробей ›

Выбирай репетитора математики для помощи

Умножение дробей более простая операция в отличие от сложения и вычитания, поскольку здесь не нужно искать общего знаменателя, а стоит лишь перемножить числители двух дробей (что и будет результирующим числителем) и знаменатели двух дробей (что и будет результирующим знаменателем).

В общем виде будет так:

$\frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{a \times c}{b \times d}$

К примеру:

$\frac{5}{11} \times \frac{6}{7} = \frac{5 \times 6}{11 \times 7} = \frac{30}{77}.$

И никакого общего знаменателя искать не нужно.

Учись вместе с «Репетиторами України»

Выбери преподавателя для подготовки к экзаменам и контрольным работам

Для того, чтобы разделить две простые дроби, нужно во второй дроби поменять числитель и знаменатель местами (то есть перевернуть ее) и перемножить две новые дроби, т.е.

$\frac{a}{b}: \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \times \frac{d}{c} = \frac{a \times d}{b \times c}.$

К примеру:

$\frac{3}{8}: \frac{4}{5} = \frac{3}{8} \times \frac{5}{4} = \frac{3 \times 5}{8 \times 4} = \frac{15}{32}.$

Часто встречается ситуация, когда нужно целое число умножить или разделить на дробь. Кстати, в таким случаях многие из учеников почему-то не знают, что делать. Нужно всего лишь записать целое число в виде простой дроби, то есть с единицей в знаменателе и вперед.

Пример 1.

$12 \times \frac{2}{7} = \frac{12}{1} \times \frac{2}{7} = \frac{12 \times 2}{1 \times 7} = \frac{24}{7}.$

Пример 2.

$\frac{19}{4}:3 = \frac{19}{4}: \frac{3}{1} = \frac{19}{4} \times \frac{1}{3} = \frac{19\times 1} {4\times 3} =\frac{19}{12}$

Старшеклассники часто имеют дело с четырехэтажными дробями, что всего лишь иная записью деления двух дробей. Что делать в таком случае не должно быть сложным вопросом. Чтобы не запутаться в вычислениях, лучше всего записать две дроби с помощью двух точек, как это уже встречалось выше, и продолжить расчеты, то есть

$\frac {\frac{2}{11}}{\frac{3}{16}} = \frac{2}{11}: \frac{3}{16} = \frac{2}{11} \times \frac{16}{3} = \frac{32}{33}.$

В случае, когда дробь трехэтажный, то легко ошибиться, поскольку нужно помнить о порядке деления. Например выражение

$\frac{\frac{3}{4}}{5} \neq \frac{3}{\frac{4}{5}}.$

В первом случае

$\frac{\frac{3}{4}}{5} = \frac{3}{4}: \frac{5}{1} = \frac{3}{4} \times \frac{1}{5} = \frac{3}{20}$

Во втором случае:

$\frac{3}{\frac{4}{5}} = \frac{3}{1}: \frac{4}{5} = \frac{3}{1} \times \frac{5}{4} = \frac{15}{4}.$

Явно, что эти две дроби не равны между собой. Как же определить порядок деления. На практике порядок деления задается скобками или длиной горизонтальной черты как указанном в примере.

Если же нет ни скобок, ни трех-, четырех- этажных дробей, то операции выполняем слева направо

$\frac{14}{17}: \frac{3}{13} \times \frac{2}{11} = \frac{14}{17} \times \frac{13}{3} \times \frac{2}{11} = \frac {14 \times 13 \times 2}{17 \times 3 \times 11} = \frac{364}{601}.$

Важный момент, когда нужно единицу розделить на дробь. К примеру:

$1: \frac{38}{153} = \frac{1}{1}: \frac{38}{153} = \frac{1}{1} \times \frac{153}{38} = \frac{153}{38}.$

Как видим в случае деления единицы на дробь стоит только перевернуть дробь и не выполнять лишних действий описанных в примере выше.

Собственно говоря, это все об операциях с дробями. Проявляйте внимательность, соблюдая указанные правила, и проблем с дробями не будет.