Другий і третій закон Ньютона. Принцип суперпозиції

Головна

›

Матеріали ›

Фізика ›

Механічний рух. Механіка ›

Другий і третій закон Ньютона

›

Обирай серед 25000+ репетиторів з понад 100 предметів

Знайти репетитора

Взаємодію тіл можна описувати за допомогою поняття сили. Сила – це векторна величина, що є мірою впливу одного тіла на інше. Будучи вектором, сила характеризується модулем (абсолютною величиною) і напрямком в просторі. Крім того, важлива точка прикладання сили: одна і та ж по модулю і напрямку сила, прикладена в різних точках протяжного тіла, може надавати різну дію. Так, якщо взятися за обід велосипедного колеса і потягнути по дотичній до обода, то колесо почне обертатися. Якщо ж тягнути уздовж радіуса, ніякого обертання не буде.

Принцип суперпозиції
Досвід показує, що якщо на дане тіло діють кілька інших тіл, то відповідні сили складаються як вектори. Більш точно, справедливий принцип суперпозіції.

Принцип суперпозиції сил. Нехай на тіло діють сили $\vec{F}_1, \vec{F}_2, .... , \vec{F}_n$ . Якщо замінити їх однією силою $\vec{F} = \vec{F}_1+\vec{F}_2+....+\vec{F}_n$ , то результат впливу не зміниться. Сила $\vec{F}$ називається рівнодіючої сил $\vec{F}_1, \vec{F}_2, .... , \vec{F}_n$ або результуючої силою.

Другий закон Ньютона Якщо рівнодіюча сил, прикладених до тіла, дорівнює нулю (тобто впливи інших тіл компенсують один одного), то в силу першого закону Ньютона знайдуться такі системи відліку (інерціальні), в яких рух тіла буде рівномірним і прямолінійним. Але якщо рівнодіюча не перетворюється в нуль, то в інерціальній системі відліку у тіла з’явиться прискорення. Кількісний зв’язок між прискоренням і силою дає другий закон Ньютона.

Знайди репетитора з фізики

Обери викладача для підготовки до іспитів та контрольних робіт

Другий закон Ньютона.

Добуток маси тіла на вектор прискорення є рівнодіюча всіх сил, прикладених до тіла: $m \vec{a} = \vec{F}$ .

Підкреслимо, що другий закон Ньютона пов’язує вектори прискорення і сили. Це означає, що справедливі наступні твердження:

$ma = F$ , де $a$ – модуль прискорення, $F$ – модуль рівнодійної сили.
Вектор прискорення сонаправлени з вектором рівнодіюча сили, так як маса тіла позитивна.

Наприклад, якщо тіло рівномірно рухається по колу, то його прискорення направлено до центра кола. Стало бути, до центру кола спрямована і рівнодіюча всіх сил, прикладених до тіла.

Третій закон Ньютона

Досвід показує, що якщо тіло А діє на тіло В, то і тіло В діє на тіло А. Кількісну зв’язок між діями тіл один на одного дає третій закон Ньютона ( «дія дорівнює протидії»).

Третій закон Ньютона. Два тіла діють один на одного з силами, рівними за модулем
і протилежними за напрямком. Ці сили мають одну і ту ж фізичну природу і спрямовані вздовж прямої, що з’єднує їх точки прикладання.

Наприклад, якщо олівець діє на стіл з силою $\vec{P}$ , спрямованої вниз, то стіл діє на олівець з силою $\vec {N}$ , спрямованої вгору (Дивитися малюнок). Ці сили рівні за абсолютній величині .

$\vec{P} = -\vec{N}$

Сили $\vec{P}$ і $\vec{N}$ , як бачимо, прикладені до різних тіл і тому не можуть врівноважувати один одного (немає сенсу говорити про їх рівнодіючу).

Як знайти закон руху?

Закони Ньютона дозволяють вирішити основну задачу механіки – знайти закон руху тіла.
У загальних рисах схема дій така.

Записуємо другий закон Ньютона: $m \vec{a} = \vec{F}$ . З урахуванням того, що прискорення є другою похідною радіуса-вектора, другий закон Ньютона набуває вигляду:
$m\frac{d^2\vec{r}}{dt^2} = \vec{F}.$

Необхідно також додати початкові умови: в початковий момент часу $t = 0$ маємо $\vec{r} = \vec{r}_0$ і $\vec{v} = \vec{v}_0$ . Початкові значення радіуса-вектора і швидкості тіла вважаються відомими – інакше рух тіла неможна буде описати однозначно. Зрозуміло, повинна бути відома і права частина рівності, зазначеної вище – рівнодіюча $\vec{F}$ всіх сил, прикладених до тіла.
Другий закон Ньютона, в зазначеному вище вигляді, є диференціальним рівнянням. Це рівняння потрібно проінтегрувати, тобто знайти невідому функцію $\vec{r} = \vec{r}(t)$ за відомою другої похідною цієї функції. Виконавши інтегрування, ми і визначимо закон руху.

Однак легко сказати – «виконавши інтегрування». Сила $\vec{F}$ може залежати від координат і швидкості тіла, а також від часу, внаслідок чого інтегрування диференціального рівняння $m \frac{d^2\vec{r}}{dt^2} = \vec{F}$ виявиться досить складним завданням. У багатьох практичних ситуаціях таке завдання доступне лише комп’ютеру.

Ось чому центральне місце в шкільній механіці займає вивчення рівноприскореного руху: він відбувається під дією постійної сили, і в цьому найпростішому випадку рівняння $m\frac{d^2\vec{r}}{dt^2} = \vec{F}$ інтегрується елементарно. Маємо:

$\frac{d^2\vec{r}}{dt^2} = \frac{\vec{F}}{m} = \vec{a},$

де \vec{a} – постійний вектор. Інтегруючи один раз, з урахуванням початкових умов, отримаємо:

$\frac{d\vec{r}}{dt} = \vec{v}_0+\vec{a}t.$

Тепер інтегруємо другий раз:

$\vec{r} = \vec{r}_0 + \vec{v}_0t + \vec{a}t^2.$

Вийшов вже відомий вам закон рівноприскореного руху.

Механіка, заснована на законах Ньютона, називається класичною механікою . Класична механіка, проте, має обмежену область застосовності. В рамках класичної механіки добре описується рух не дуже маленьких тіл з не дуже великими швидкостями. При описі атомів і елементарних частинок на заміну класичній механіці приходить квантова механіка . Рух об’єктів зі швидкостями, близькими до швидкості світла, відбувається за законами теорії відносності .