Види дробів - Вивчення математики онлайн

›

Види дробів ›

Обери репетитора математики, щоб вивчити предмет

Дріб в математиці введений для зображення частини цілого числа. Наприклад, одна друга або половина, одна четверта або четвертина, дві п’ятих і т.д. Всі дроби можна розділити на три види:

1.Простий або звичайний дріб

Дріб, що прийнято записувати у формі двох цілих чисел, які відділяються горизонтальною

або скошеною ( 1/2, 1/4, 2/5) лінією називається простим. Число, що стоїть внизу або справа (в залежності від форми запису) в простому дробі, називається знаменником, і він показую на скільки рівних частинок потрібно розділити ціле, а число вгорі або зліва – чисельник, і він показую скільки цих рівних частинок цілого потрібно взяти. Що це означає на практиці, розглянемо на прикладі дробу . Для цього візьмемо піцу і виділимо на ній цей дріб. Знаменник, тобто число 8, буде показувати на скільки шматків потрібно розрізати піцу, а чисельник, тобто число 5, буде показувати скільки шматків із цих восьми власне треба взяти.

1. Кількість частинок, на які ділиться піца 8.

Безымянный

2. Кількість частинок, що ми беремо – 5.

Безымянный

Основна властивість простого дробу.

Якщо чисельник і знаменний будь – якого дробу помножити чи поділити на одне і теж саме число, то значення дробу не зміниться:

$\frac{3}{7} = \frac{3 \times 6}{7 \times 6} = \frac {18}{42} = \frac {18 \div 2}{42 \div 2} = \frac {9}{21} = \frac{9 \div 3}{21 \div 3} = \frac {3}{7} = \frac{3 \times a^2}{7 \times a^2} = \frac{3 \times (a-b)}{7 \times (a-b)}$

Тобто, таким чином можна отримати безкінечну кількість записів одного і того ж самого дробу.

Навчайся разом з Репетиторами України

Обери викладача для підготовки до екзаменів та контрольних робіт

Питання в тому як ця властивість дробу використовується на практиці. Наприклад, ми маємо дріб

$\frac{400}{525},$

розділимо чисельник і знаменник цього дробу на п’ять і отримаємо дріб

$\frac{80}{105},$

а якщо знаменник і чисельник знову поділити на 5, то взагалі отримаємо дріб:

$\frac{16}{21}.$

Зрозуміло, що працювати з останнім дробом набагато зручніше і легше, ніж з початковим, хоча величини обох дробів однакові. Процедура ділення чисельника і знаменника на одне і теж саме число, описана на прикладі вище, називається скороченням дробу і для простоти обчислень її, за можливості, потрібно проводити завжди.
Так само можна скорочувати дріб на вирази:

$\frac{2 \cdot a}{a^2} = \frac{2}{a},$

$\frac {7 \cdot (x+y)}{x+y} = \frac{7}{1} = 7.$

І в старших класах, крім двох чисел, потрібно вміти скорочувати саме вирази. Проте багато старшокласників, взявши на озброєння процедуру скорочення, починають застосовувати її там, де це неприпустимо. Наприклад, дріб виду

$\frac{2+y}{y^2}$

не можна скоротити, оскільки $2+y$ не ділиться на жодне число, крім всього виразу в цілому $2+y$ . Але старшокласника це може не зупинити, і $y$ в знаменнику та чисельнику буде скорочений, і дріб перетвориться на

$\frac {2}{y},$

що для вчителя буде рівноцінно невмінню працювати з дробами взагалі.

Правильний і неправильний прості дроби.

Дріб, в якому чисельник має значення менше за знаменник, називається правильним. Наприклад,

Безымянный

і т.д. Якщо ж значення чисельника перевищує значення знаменника, то такий дріб називається неправильним. Наприклад,

і т.д. Повертаючись до піци, неправильний дріб 9/4 означає, що наша піца була поділена на 4 шматки і таких шматків було взято 9, тобто більше, ніж складає одна піца, а якщо точніше, то 9 таких шматків складатимуть 2 цілих піци і ще одну четвертинку. Це означає, що в неправильному дробі можна виділити цілу частину (цілі піци).

3.Дріб 9/4.

2.Змішаний дріб.

Дріб, що записується як ціле число і поряд простий правильний дріб

називається змішаним і його можна отримати, виділивши кількість цілих частин в неправильному простому дробі. Даний вид запису дробів рідко використовується, але такий запис може зустрітися в задачі, тому надалі покажемо як переходити від змішаного дробу до простого неправильного дробу. Для цього візьмемо змішаний дріб

і нашу піцу. Бачимо, що знаменник дробу дорівнює 5, а це означає, що кожну із 4 цілих піц потрібно розрізати на п’ять шматків, в результаті ми отримаємо 20 шматків. Після цього потрібно до цих 20 шматків додати ще ті два шматки, що стояли в чисельнику простого дробу – отримаємо 22 шматки, тобто неправильний простий дріб . В математичному записі це буде виглядати так

3.Десятковий дріб.

Дроби записані у вигляді 0,235; 0,32; 5,6 і т.д. називаються десятковими. При чому говорять, що до коми вказана ціла частина, а після коми дробова. Важливо вміти читати таку форму запису, для того, щоб легко переходити від десяткової форми запису до простого дробу. Отже, спочатку проговорюється число перед комою і додається слово «цілих», а потім проговорюється число після коми і в залежності від кількості знаків/цифр після коми додається слово, що характеризую на скільки частин розбивається ціле: десятих, сотих, тисячних, десятитисячних і т.д.. Наприклад, запис виду 0,2 читається як «нуль цілих дві десятих», запис 4,32 – «чотири цілих тридцять дві сотих» і т.д.

Перетворення десяткового дробу в простий і навпаки.

Для того, щоб перейти від десяткового до простого дробу потрібно записати десятковий дріб так як він читається, але з допомогою чисельника і знаменника, а потім, за можливості, провести процедуру скорочення. Наприклад, $0,2 = \frac{2}{10},$ і після скорочення на 2 отримаємо $\frac{1}{5}.$
$2,25 = \frac{225}{100},$ і після скорочення на 25 отримаємо $\frac{9}{4}.$ Число $2,13 = \frac{213}{100}$ після переводу в простий дріб скоротити не можна, тому це остаточна форма запису.

Часто доводиться переводити простий дріб в десятковий, зокрема для запису відповідей в тестах. Що робити, якщо, розв’язавши завдання, отримали результат у вигляді простого дробу

$\frac{3}{4},$

потрібно, як вчили в початковій школі, поділити в стовпчик одне число на інше .

Як бачимо з результатів ділення, отримаємо

$\frac{3}{4} = 0,75.$

Якщо спробувати, наприклад, дріб $\frac{1}{3}$ перевести в десятковий, тобто виконати процедуру ділення в стовпчик, то отримаємо число $0,3333333......$ і так трійки до безкінечності. Тому можна зробити висновок, що не будь-який десятковий дріб переводиться звичайний (простий) дріб.

Якою ж формою запису дробу користуватися найкраще? Звичайно ж, це залежить від ситуації. Наприклад, якщо у вас є завдання, де дроби знаходяться в усіх трьох видах, в такому випадку надійніше перевести всі ці дроби в звичайні і потім проводити обчислення. Якщо в завданні пропонується порахувати десяткові $0,25+0,35$ дроби, то звичайно ж переходити до простих дробів не потрібно. Тобто ми обираємо той спосіб розв’язку, що є найбільш зручнішим.