Операції множення та ділення дробів

Операції множення та ділення дробів

Множення дробів більш проста операція на відмінну від додавання та відмінання, оскільки тут не потрібно шукати спільного знаменника, а варто лише перемножити чисельники двох дробів (що і буде результуючим чисельником) і знаменники між собою (що і буде результуючим знаменником).

Маємо в загальному вигляді:

    \[\frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{a\times c}{b \times d}\]

Наприклад:

    \[\frac{5}{11} \times \frac{6}{7} = \frac{5 \times 6}{11 \times 7} = \frac{30}{77}.\]

І ніякого спільного знаменника шукати непотрібно.

Для того, щоб розділити два простих дроби, потрібно в другому дробі поміняти чисельник і знаменник місцями (тобто перевернути його) і перемножити два нових дроби, тобто

    \[\frac{a}{b}:\frac{c}{d} = \frac{a}{b} \times \frac{d}{c} = \frac{a \times d}{ b \times c}.\]

Наприклад:

    \[\frac{3}{8}:\frac{4}{5} = \frac{3}{8} \times \frac{5}{4} = \frac{3 \times 5}{ 8 \times 4} = \frac{15}{32}.\]

Часто зустрічається ситуація, коли потрібно ціле число помножити поділити на дріб. До речі, в таким випадках багато хто з учнів чомусь не знає, що робити. Потріно всього лиш записати ціле число у вигляді простого дробу, тобто з одиницею в знаменнику і вперед.

Приклад 1.

    \[12 \times \frac{2}{7} = \frac{12}{1} \times \frac{2}{7} = \frac{12 \times 2}{1 \times 7}  = \frac{24}{7}.\]

Приклад 2.

    \[\frac{19}{4}: 3 = \frac{19}{4} : \frac{3}{1} = \frac{19}{4} \times \frac{1}{3} = \frac{19 \times 1}{4 \times 3} = \frac{19}{12}\]

Старшокласники часто мають справу з чотирьохповерховими дробами, що є іншим записом ділення двох дробів. Що робити в такому випадку не має бути складним питанням. Щоб не заплутатися в обчисленнях, краще всього записати два дроби з допомогою двох крапок, як це вже зустрічалося вище, і продовжити розрахунки, тобто

    \[\frac{\frac{2}{11}}{\frac{3}{16}} = \frac{2}{11}:\frac{3}{16} = \frac{2}{11} \times \frac{16}{3} = \frac{32}{33}.\]

У випадку, коли дріб трьохповерховий, то легко помилитися, оскільки потрібно пам’ятати про порядок ділення. Наприклад вираз

    \[\frac{\frac{3}{4}}{5} \neq \frac{3}{\frac{4}{5}}.\]

В першому випадку

    \[\frac{\frac{3}{4}}{5} = \frac{3}{4} : \frac{5}{1} = \frac{3}{4} \times \frac{1}{5} = \frac{3}{20}\]

В другому випадку:

    \[\frac{3}{\frac{4}{5}} = \frac{3}{1} : \frac{4}{5} = \frac{3}{1} \times \frac{5}{4} = \frac{15}{4}.\]

Явно, що ці два дроби не рівні між собою. Як же визначити порядок ділення. На практиці порядок ділення задається дужками або ж довжиною горизонтальної риски як вказаному прикладі.

Якщо ж немає ні дужок, ні трьох-, чотирьох- поверхових дробів, то операції виконуємо зліва направо

    \[\frac{14}{17}:\frac{3}{13}\times\frac{2}{11} = \frac{14}{17} \times \frac{13}{3} \times \frac{2}{11} = \frac{14 \times 13 \times 2}{17 \times 3 \times 11} = \frac{364}{601}.\]

Важливий момент, коли потрібно одиницю розідилти на дріб. Наприклад:

    \[1 : \frac{38}{153} = \frac{1}{1}: \frac{38}{153} = \frac{1}{1} \times \frac{153}{38} = \frac{153}{38}.\]

Як бачимо у випадку ділення одиниці на дріб варто лише перевернути дріб і не виконувати лишніх дій описаних у прикладі вище.

Власне кажучи, це все над операціями з дробами. Проявляйте уважність, дотримуючись вказаних правил, і проблем з дробами не буде.


Top