Операції додавання та віднімання дробів

Операції додавання та віднімання дробів

В попередній статті ми ознайомилися з видами дробів, і оскільки дроби — це частини цілого, то їх як і цілі числа можна віднімати і додавати.

З десятковими дробами все просто — операції додавання і віднімання проводяться аналогічним чином, як і для цілих чисел. Власне тому десяткові дроби зручні, а всі операції над ними можна провести в тому числі і на калькуляторі.  Проте, якщо калькулятора немає під рукою чи його використання заборонене умовами тесту, то десяткові дроби доведеться  додавати чи віднімати в стовпчик. Для цього головне поставити кому, яка розділяє цілу і дробову частину, одного дробу над такою ж комою  іншого дробу. Наприклад потрібно додати числа 387, 489 і 576,643, отримаємо

Додавання

 Додавання і віднімання простих дробів є більш  поширенішою задачею в математиці і, можна сказати, що ці дії складають основу алгебри, оскільки проводяться не лише над числами, але й над буквами і виразами, що складаються з букв, тригонометричних функцій, логарифмів і т.д. (з тригонометричними функціями і логарифмами познайомимось в наступних статтях).

Найпростіше додавати дроби з однаковими знаменниками, в такому випадку потрібно лише додати чисельники, а знаменник написати спільний для двох дробів:

    \[\frac{3}{8} + \frac{7}{8} = \frac{3+7}{8} = \frac{10}{8} .\]

Якщо розглянути додавання на прикладі торту, що розділений на шматки, то матимемо таку ситуацію: кожен з двох тортів поділений на 8 шматків, про що свідчать знаменники дробів, і з першого торту взято 3 шматки, а з другого 7 шматків (чисельники дробів), в результаті отримаємо 10 шматків тортів, що поділені на 8 частин:

Додавання-2

Аналогічно для віднімання — чисельники віднімаємо, а знаменник пишемо спільний для двох дробів:

    \[\frac{17}{23} - \frac{11}{23} = \frac{17-11}{23} = \frac{6}{23}.\]

І в загальному вигляді:

    \[\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}.\]

Якщо ж знаменники дробів не однакові, то на практиці це означає, що наші торти поділені на різну кількість частин, а тому шматки мають різний розмір і як їх додавати чи віднімати незрозуміло. Відповідно завдання полягає  в тому, щоб  зробити шматки тортів однаковими за розміром, тобто знайти спільний знаменник, а в цьому нам допоможе основна властивість дробів, яку ми згадали в попередній статті «Види дробів«.

Спочатку розберемось, що значить знайти найменше спільне кратне (НСК) для двох цілих чисел a і b (два будь-яких цілих числа) — це означає відшукати таке найменше число, яке б ділилося як на a, так і на b без остачі. Наприклад, потрібно знайти НСК для 4 і 6, оскільки числа невеликі, то можна без проблем сказати, що найменшим числом, яке б ділилося і на 4, і на 6 є число 12. Проте якщо числа будуть більшими, то вже не так легко буде знайти НСК. В такому випадку на допомогу приходять правила з пошуку найменшого спільного кратного двох чисел:

      1. Розкласти кожне з чисел на прості множники (числа, що діляться лише на себе і на одиницю: 2,3,5,7,11 і т.д.),
      2. Беремо будь-яке з двох розкладених чисел і домножаємо його, на ті прості множники, яких бракує в іншому — це і буде найменше спільне кратне.

Приклад 1.

Знайти НСК 24 і 36.

Розв’язок.

Спершу розкладаємо на множники обидва числа:

24 =  4\times 6 = 4 \times 3 \times 2
36 =  6\times 6 = 2 \times 2 \times 3 \times 3
Беремо число 24 і порівнюємо його розклад з розкладом числа 36. Бачимо, що в розкладі 36 дві двійки і дві трійки, тобто 24 не вистачає ще однієї двійки і однієї трійки, щоб 36 могло повноцінно увійти в розклад 24, тому домножаємо 24 на 2та 3 і отримуємо НСК цих двох чисел 24 \times 2 \times 3 = 144
Так само ми могли взяти розклад 36 і порівняти його з розкладом 24, в такому випадку можна побачити, що в розклад 36 не входить число 4, таким чином, щоб знайти НСК 24 і 36 треба домножити 36 на 4, після перемноження отримаємо 144.

 Приклад 2.

Знайти НСК 63 і 28.

Розв’язок.

63 = 7 \times 9 = 7 \times 3 \times 3
28  = 7 \times 4 = 7 \times 2 \times 2
В розкладі 63 не вистачає двох двійок, якщо його порівнювати з розкладом 28, отже, НСК буде 63 \times 2 \times 2 = 252.

Якщо потрібно знайти НСК трьох і більше чисел, то потрібно розкласти на прості множники кожне із чисел. Потім обрати перше число, порівняти його розклад з розкладом другого числа  і домножити на бракуючі множники, розклад утвореного числа  порівняти з розкладом третього числа і знову домножити його на бракуючі прості множники і т.д.

Знаючи як шукати найменше спільне кратне, можемо перейти до додавання двох дроби з різними знаменниками. Почнемо з прикладу:

\frac{4}{9} + \frac{5}{18}

Для цього потрібно знайти спільний знаменник, що рівноцінно знаходженню найменшого спільного кратного для чисел, що є знаменниками двох дробів

Top