Операция умножения и деления дробей

Операция умножения и деления дробей

Умножение дробей более простая операция в отличие от сложения и вычитания, поскольку здесь не нужно искать общему знаменателю, а стоит лишь перемножить числительные двух дробей (что и будет результирующим числителем) и знаменатели между собой (что и будет результирующим знаменателем).

Есть в общем виде:

    \[\frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{a \times c}{b \times d}\]

К примеру:

    \[\frac{5}{11} \times \frac{6}{7} = \frac{5 \times 6}{11 \times 7} = \frac{30}{77}.\]

И никакого общему знаменателю искать не нужно.

Для того, чтобы разделить два простых дроби, нужно во втором дроби поменять числитель и знаменатель местами (то есть перевернуть его) и перемножить два новых дроби, т.е.

    \[\frac{a}{b}: \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \times \frac{d}{c} = \frac{a \times d}{b \times c}.\]

К примеру:

    \[\frac{3}{8}: \frac{4}{5} = \frac{3}{8} \times \frac{5}{4} = \frac{3 \times 5}{8 \times 4} = \frac{15}{32}.\]

Часто встречается ситуация, когда нужно целое число умножить разделить на дробь. Кстати, в таким случаях многие из учеников почему-то не знает, что делать. Потрино всего лишь записать целое число в виде простой дроби, то есть с единицей в знаменателе и вперед.

Пример 1.

    \[12 \times \frac{2}{7} = \frac{12}{1} \times \frac{2}{7} = \frac{12 \times 2}{1 \times 7} = \frac{24}{7}.\]

Пример 2.

    \[\frac{19}{4}:3 = \frac{19}{4}: \frac{3}{1} = \frac{19}{4} \times \frac{1}{3} = \frac{19\times 1} {4\times 3} =\frac{19}{12}\]

Старшеклассники часто имеют дело с четырехэтажный дробями, что есть другой записью деления двух дробей. Что делать в таком случае должно быть сложным вопросом. Чтобы не запутаться в вычислениях, лучше всего записать две дроби с помощью двух точек, как это уже встречалось выше, и продолжить расчеты, то есть

    \[\frac {\frac{2}{11}}{\frac{3}{16}} = \frac{2}{11}: \frac{3}{16} = \frac{2}{11} \times \frac{16}{3} = \frac{32}{33}.\]

В случае, когда дробь трехэтажный, то легко ошибиться, поскольку нужно помнить о порядке деления. Например выражение

    \[\frac{\frac{3}{4}}{5} \neq \frac{3}{\frac{4}{5}}.\]

В первом случае

    \[\frac{\frac{3}{4}}{5} = \frac{3}{4}: \frac{5}{1} = \frac{3}{4} \times \frac{1}{5} = \frac{3}{20}\]

Во втором случае:

    \[\frac{3}{\frac{4}{5}} = \frac{3}{1}: \frac{4}{5} = \frac{3}{1} \times \frac{5}{4} = \frac{15}{4}.\]

Явно, что эти две дроби не равны между собой. Как же определить порядок деления. На практике порядок деления задается скобками или длиной горизонтальной черты как указанном примере.

Если же нет ни скобок, ни трех-, четырех- этажных дробей, то операции выполняем слева направо

    \[\frac{14}{17}: \frac{3}{13} \times \frac{2}{11} = \frac{14}{17} \times \frac{13}{3} \times \frac{2}{11} = \frac {14 \times 13 \times 2}{17 \times 3 \times 11} = \frac{364}{601}.\]

Важный момент, когда нужно единицу розидилты на дробь. К примеру:

    \[1: \frac{38}{153} = \frac{1}{1}: \frac{38}{153} = \frac{1}{1} \times \frac{153}{38} = \frac{153}{38}.\]

Как видим в случае деления единицы на дробь стоит только перевернуть дробь и не выполнять лишних действий описанных в примере выше.

Собственно говоря, это все за операциями с дробями. Проявляйте внимательность, соблюдая указанных правил, и проблем с дробями не будет.


Top