Операции сложения и вычитания дробей

Операции сложения и вычитания дробей

В предыдущей статье мы познакомились с видами дробей, и поскольку дроби — это части целого, то их как и целые числа можно вычитать и прибавлять.

С десятичными дробями все просто — операции сложения и вычитания проводятся аналогичным образом, как и для целых чисел. Именно поэтому десятичные дроби удобные, а все операции над ними можно провести в том числе и на калькуляторе. Однако, если калькулятора нет под рукой или его использование запрещено условиями теста, то десятичные дроби придется добавлять или отнимать в столбик. Для этого главное поставить запятую, которая разделяет целую и дробную часть, одной дроби над такой же  запятой другой дроби. Например нужно добавить числа 387, 489 и 576,643, получим

Додавання
Сложение и вычитание простых дробей является более распространенной задачей в математике и, можно сказать, что эти действия составляют основу школьной алгебры, поскольку проводятся не только над числами, но и над буквами и выражениями, состоящие из букв, тригонометрическими функция, логарифма и т. д. (С тригонометрическими функциями и логарифмами познакомимся в следующих статьях).

Проще добавлять дроби с одинаковыми знаменателями, в таком случае нужно только добавить числители, а знаменатель написать общий для двух дробей:

    \[\frac{3}{8} + \frac{7}{8} = \frac{3 + 7}{8} = \frac{10}{8}.\]

Если рассмотреть добавление на примере торта, который разделен на части, то получим такую ​​ситуацию: каждый из двух тортов разделен на 8 кусков, о чем свидетельствуют знаменатели дробей, и с первого торта взято 3 куска, а с другой 7 кусков (числитель дроби), в результате получим 10 кусков тортов, которые разделены на 8 частей:

Сложение дробейАналогично для вычитания — числители вычитаем, а знаменатель пишем общий для двух дробей:

    \[\frac{17}{23} - \frac{11}{23} = \frac{17-11}{23} = \frac{6 }{23}.\]

И в общем виде:

    \[\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c},\]

где a, b i c — любые целые числа.

Если же знаменатели дробей не одинаковы, то на практике это означает, что наши торты разделены на разное количество частей, а поэтому куски имеют разный размер и как их добавлять или отнимать «непонятно». Соответственно задача состоит в том, чтобы сделать куски тортов одинаковыми по размеру, то есть найти общий знаменатель, а в этом нам поможет основное свойство дробей, которое мы упомянули в предыдущей статье «Виды дробей».

Сначала разберемся, что значит найти наименьшее общее кратное (НОК) для двух целых чисел a и b ( a и b — два любых целых числа) — это значит найти такое наименьшее число, которое бы делилось как на a, так и на b нацело. Например, нужно найти НСК для 4 и 6, поскольку числа небольшие, то можно без проблем сказать, что наименьшим числом, которое бы делилось и на 4, и на 6 является число 12. Однако если числа будут большими, то уже не так легко будет найти НОК. В таком случае на помощь приходят правила по поиску наименьшего общего кратного двух цифр:

  1. Разложить каждое из чисел на простые множители (простые числа — числа, делящиеся только на себя и на единицу: 2,3,5,7,11 и т.д.),
  2. Берем любое из двух разложенных чисел и домножаемо его, на те простые множители, которых недостает в другом — это и будет наименьшее общее кратное.

Пример 1.
Найти НОК 24 и 36.
Решение.
Сначала раскладываем на множители оба числа:
24 = 4 \times 6 = 4 \times 3 \times 2
36 = 6 \times 6 = 2 \times 2 \times 3 \times 3
Берем число 24 и сравниваем его разложение с разложением числа 36. Видим, что в разложение 36 две двойки и две тройки, то есть 24 не хватает еще одной двойки и одной тройки, чтобы 36 могло полноценно войти в разложение 24, поэтому домножаемо 24 на 2 и 3 и получаем НОК этих двух цифр 24 \times 2 \times 3 = 144
Так же мы могли взять разложение 36 и сравнить его с разложением 24, в таком случае можно увидеть, что в разложении 36 не входит число 4, таким образом, чтобы найти НОК 24 и 36 надо умножить 36 на 4, после перемножения получим 144.

Пример 2.
Найти НОК 63 и 28.
Решение.
63 = 7 \times 9 = 7 \times 3 \times 3
28 = 7 \times 4 = 7 \times 2 \times 2
В разложении 63 не хватает двух двоек, если его сравнивать с разложением 28, следовательно, НОК будет 63 \times 2 \times 2 = 252.

Если нужно найти НСК трех и более чисел, то нужно разложить на простые множители каждое из чисел. Затем выбрать первое число, сравнить его разложение с разложением второго числа и умножить на недостающие множители, разложение образованного числа сравнить с расписанием третьего числа и снова умножить его на недостающие простые множители и т.д.

Зная как искать наименьшее общее кратное, можем перейти к добавлению двух дроби с разными знаменателями. Начнем с примера:

    \[\frac{7}{54} + \frac{5}{18}\]

Для этого нужно найти общий знаменатель, что равноценно нахождению наименьшего общего кратного для чисел, является знаменателями двух дробей. Применяя правила для нахождения НСК, имеем общий знаменатель 54. В таком случае числитель первой дроби не нужно умножить на 1, а числитель второй дроби на 3, имеем

    \[\frac{7}{54} + \frac{5}{18} = \frac{^{1/}7}{54} + \frac{^{3/}5}{18} = \frac{1\times7 + 3\times5}{54} = \frac{22}{54}.\]

Таким образом, чтобы добавить или же отнять две дроби с разными знаменателями нужно:

  1. Найти общий знаменатель двух дробей, используя правила для нахождения наименьшего общего кратного.
  2. Умножить каждый из числитель дроби на число, которое находим с помощью деления найденного общего знаменателя на числитель избранное дроби.
  3. Выполнить операцию сложение или вычитание в числителе дроби с общим знаменателем.

Top