Виды дробей

Виды дробей

В математике дробь вводиться для отображения части целого числа. Например, одна вторая или половина, одна четвертая или четверть, две пятых и т.д. Все дроби можно разделить на три вида:

1.Простые или обычные дроби
Дробь, принято записывать в форме двух целых чисел, которые отделяются горизонтальной (\frac{1}{2}, \frac{1}{4},\frac{2}{5}) или скошенной (1/2, 1/4, 2/5) прямой называется простым. Число, стоящее внизу или справа (в зависимости от формы записи) в простом дроби, называется знаменателем, и он показываю на сколько равных частиц нужно разделить целое, а число вверху или слева — числителем, и он показываю сколько этих равных частиц целого нужно взять . Что это означает на практике, рассмотрим на примере дроби \frac{5}{8}. Для этого возьмем пиццу и выделим на ней эту дробь. Знаменатель, то есть число 8, будет показывать на сколько кусков нужно разрезать пиццу, а числитель, то есть число 5, будет показывать сколько кусков из этих восьми собственно надо взять.

1. Количество частиц, на которые делится пицца 8.

Безымянный

2. Количество кусков, которые мы берем 5.

Безымянный

Основное свойство простой дроби.

Если числитель и знаменатель какой — либо дроби умножить или разделить на одно и тоже число, то значение дроби не изменится:  

    \[   \frac{3}{7} = \frac{3 \times 6}{7 \times 6} = \frac {18}{42} = \frac {18 \div 2}{42 \div 2} = \frac {9}{21}  = \frac{9 \div 3}{21 \div 3} = \frac {3}{7} = \frac{3 \times a^2}{7 \times a^2} = \frac{3 \times (a-b)}{7 \times (a-b)}\]

То есть, таким образом можно получить бесконечное количество записей одного и того же дроби.

Вопрос в том, как это свойство дроби используется на практике. Например, мы имеем дробь

    \[\frac {400} {525},\]

разделим числитель и знаменатель этой дроби на пять и получим дробь

    \[\frac {80}{105},\]

а если знаменатель и числитель снова разделить на 5, то вообще получим дробь:

    \[\frac{16}{21}.\]

Понятно, что работать с последней дробью гораздо удобнее и легче, чем с начальной, хотя величины обеих дробей одинаковы. Процедура деления числителя и знаменателя на одно и тоже число, описанная в примере выше, называется сокращением дроби и для простоты вычислений ее, по возможности, нужно проводить всегда.
Так же можно сокращать дробь на выражения: 

    \[\frac{2 \cdot a}{a^2} = \frac{2}{a},\]

 

    \[ \frac {7 \cdot (x+y)}{x+y} = \frac{7}{1} = 7.\]

И в старших классах, кроме двух чисел, нужно уметь сокращать именно выражения. Однако многие старшеклассники, взяв на вооружение процедуру сокращения, начинают применять ее там, где это недопустимо. Например, дробь вида

    \[\frac{2 + y}{y ^ 2}\]

нельзя сократить, поскольку 2 + y не делится ни на одно число, кроме всего выражения в целом на себя 2 + y. Но старшеклассника это может не остановить, и y в знаменателе и числителе будет сокращен, таким образом дробь превратится в

    \[\frac{2}{y},\]

что для учителя будет равноценно неумению работать с дробями вообще.

Правильная и неправильная простые дроби.

Дробь, в котором числитель имеет значение меньше знаменатель, называется правильным. Например, \frac{5}{6} (5 меньше 6), \frac{17}{23} (17 меньше 105), \frac{59}{105} (59 менее 105) и т.д. Если же числитель превышает значение знаменателя, то такая дробь называется неправильной. Например, \frac{9}{4} (9 больше 4), \frac{22}{15} (22 более 15) и т.д. Возвращаясь к пицце, неправильный дробь \frac{9}{4} означает, что наша пицца была разделена на 4 куска и таких кусков было взято 9, то есть больше, чем составляет одна пицца, а если точнее, то 9 таких кусков составлять 2 целых пиццы и еще одну четвертинку . Это означает, что в неправильном дроби можно выделить целую часть (целые пиццы).

Безымянный

3.Дробь \frac{9}{4}.

2.Смешанные числа.
Дробь, записывается как целое число и рядом  простая правильная дробь (2 \frac{1}{4}, 3 \frac{2}{5}) называется смешанным и его можно получить, выделив количество целых частей в неправильной простой дроби. Данный вид записи дробей редко используется, но такая запись может встретиться в задачи, поэтому в дальнейшем покажем как переходить от смешанной дроби к простой неправильной дроби. Для этого возьмем смешанную дробь 4 \frac{2}{5} и нашу пиццу. Видим, что знаменатель дроби равен 5, а это значит, что каждую из 4 целых пицц нужно разрезать на пять кусков, в результате мы получим 20 кусков. После этого нужно к этих 20 кускам добавить еще те два куска, стоявших в числителе простой дроби — получим 22 куска, то есть неправильную простую дробь \frac{22}{5}. В математическом записи это будет иметь вид 4 \frac{2}{5} = \frac{4*5+2}{5} = \frac{22}{5}
3.Десятичные дроби.
Дроби записаны в виде 0,235; 0,32; 5,6 и т.д. называются десятичными. Причем говорят, что до запятой указана целая часть, а после запятой дробная. Важно уметь читать такую ​​форму записи, для того, чтобы легко переходить от десятичной формы записи к простой дроби. Итак, сначала проговаривается число перед запятой и добавляется слово «целых», а затем проговаривается число после запятой и в зависимости от количества знаков /цифр после запятой добавляется слово, которое показывает на сколько частей разбивается целое: десятых, сотых, тысячных, десятитысячных и т .д .. Например, запись вида 0,2 читается как «ноль целых две десятых», запись 4,32 — «четыре целых тридцать две сотых» и т.д.

Преобразование десятичной дроби в простую и наоборот.

Для того, чтобы перейти от десятичной к простой дроби нужно записать десятичную дробь так как она читается, но з помощью числителя и знаменателя, а затем, по возможности, провести процедуру сокращения. Например, 0,2 = \frac{2}{10} и после сокращения на 2 получим \frac{1}{5}.
2,25 = \frac{225}{100}, и после сокращения на 25 получим \frac{9}{4}. Число 2,13 = \frac{213}{100} после перевода в простую дробь сократить нельзя, так что это окончательная форма записи.

Часто приходится переводить простую дробь в десятичную, в частности для записи ответов в тестах. Что делать, если, решив задачу, получили результат в виде простой дроби

    \[\frac{3}{4},\]

нужно, как учили в начальной школе, разделить в столбик одно число на другое.

Стовпчик

Как видно из результатов деления, получим

    \[\frac{3}{4} = 0,75.\]

Если попытаться, например, дробь \frac{1}{3} перевести в десятичную, то есть выполнить процедуру деления в столбик, то получим число 0,3333333 ...... и так тройки до бесконечности. Поэтому можно сделать вывод, что любая десятичная дробь переводится в обычную (простую) дробь.

Какой же формой записи дроби пользоваться лучше? Конечно же, это зависит от ситуации. Например, если у вас есть задача, где дроби находятся во всех трех видах, в таком случае надежнее перевести все эти дроби в обычные и затем проводить вычисления. Если же в задании предлагается посчитать десятичные 0,25 + 0,35 дроби, то конечно же переходить к простым дробям не требуется. То есть мы выбираем тот способ решения, что является наиболее удобным.


Top